Darf der Auftraggeber das Honorar kürzen, weil ihm mein Arbeitsergebnis nicht gefällt?

Höchstwarscheinlich nicht. Es gibt im Wesentlichen zwei Arten von Verträgen für Dienstleistungen: der Dienstvertrag und der Werkvertrag. Nur beim Werkvertrag wird das vorher beschriebene Werk geschuldet. Beim Dienstvertrag (und ich vermute darum handelte es sich beim Webdesign) wird das Bemühen geschuldet; vereinfacht: Zeit gegen Geld.
Im Alltag wird jedoch mitunter aus Kulanzgründen, z. B. um den Kunden nicht zu verlieren, auf eine solche Forderung eingegangen. Viel wichtiger ist aber, was Du daraus lernst: Checkpoint einbauen, also das Gespräch mit dem Kunden suchen, um früher auf Probleme aufmerksam zu werden.