Haben Zeitschriften automatisch auch das Recht zur Veröffentlichung auf ihrer Website, wenn ich einen Beitrag für die Print-Ausgabe schreibe?

Nein, ein automatisches Recht für die Veröffentlichung in einem anderen Medium gibt es definitiv nicht. Es gilt immer, was ausgemacht ist: Hast du den Beitrag für ein Medium (und damit auch für einen Zeitraum und eine Verbreitungsmenge) freigegeben, ist es das und nicht mehr. Eine Mehrfachnutzung erfordert immer eine entsprechende Freigabe und erhöht das Honorar, welches du zumindest verlangen darfst (und nicht sicher ist, ob sie es zahlen wollen, aber das ist ein anderes Thema).
Wenn sie es unerlaubt getan haben und du es drauf ankommen lassen möchtest, stelle ihnen eine Rechnung.